В экономической модели инвестиционного проекта могут использоваться две формы представления потоков платежей: непрерывная и дискретная. Чаще всего расчеты эффективности и финансовой реализуемости инвестиционного проекта выполняются при дискретном представлении денежных потоков. Однако иногда возникает необходимость представления потоков как непрерывных и гладких (то есть дифференцируемых) функций, например для того, чтобы использовать инструментарий математического анализа для исследования потоков платежей проекта, а также решения оптимизационных задач.
Построение непрерывных потоков проекта чрезвычайно усложняет расчеты, поскольку необходимо использовать в этом случае дифференциальное и интегральное исчисление. Однако для подобных задач имеется большое количество машинных программ и не требуется больших усилий, чтобы ввести исходные данные в компьютер и получить нужное решение. В общем же случае представление показателей и процессов как непрерывных позволяет выявить наиболее существенные их свойства.
Как уже отмечалось, инвестиционный проект имеет свое начало (момент времени t = 0) и конец (момент времени t = Т). Рассматриваемый поток можно охарактеризовать функцией Ф(t), отражающей эффект, исчисленный накопленным (нарастающим) итогом от начала проекта до момента t. Эта функция не обязательно непрерывна, например, из-за скачкообразного поступления выручки, арендных платежей и т.п. Однако если подобные платежи осуществляются достаточно часто и каждый платеж невелик, то такими скачками можно пренебречь и рассматривать функцию Ф(t) как непрерывную. В том случае, если проект предусматривает получение кредита, то значения функции Ф(t) будут скачкообразно увеличиваться в моменты получения и погашения кредитов или займов, и пренебрегать такими скачками нецелесообразно. В общем случае описание потока, основанное на разбиении расчетного периода на отдельные интервалы времени (шаги), называется дискретным, а описание того же потока через функции от непрерывно меняющегося времени – непрерывным. Другим словами, понятие непрерывности денежного потока Ф(t) относится здесь не к функции Ф (которая может быть и разрывной), а к аргументу, то есть времени, которое рассматривается как непрерывно меняющееся. В частности, в реальном проекте, например, после ввода предприятия в эксплуатацию и при отсутствии расчетов по кредитам, займам и депозитам поток может описываться непрерывной функцией времени. Тем не менее оценка эффективности такого проекта может производиться исходя из разбиения расчетного периода на шаги, то есть из дискретного представления этого денежного потока. Тем самым антонимом к слову «непрерывный» в данной ситуации будет «дискретный», а не «разрывный».
Если функции Ф(t) – гладкая, то на протяжении малого отрезка времени (t, t+Dt) поток изменится на величину
Ф(t+Dt) – Ф(t) = Ф'(t)Dt
Производная Ф'(t) при этом выражает интенсивность (скорость возрастания, плотность) потока, роста поступлений за малую единицу времени. Другим словами, данная функция выражает прирост функции (эффекта) за малую единицу времени.
По определению, Ф(t) отражает предел отношения прироста эффекта за малый отрезок времени к длительности этого отрезка при неограниченном уменьшении последней. На этом основании тот же показатель может именоваться как предельный эффект или маржинальный (marginal) эффект – в экономической литературе такие термины часто встречаются.
При дискретном описании потока период реализации проекта разбивается на отдельные интервалы времени – шаги. Каждый n-й шаг (нумерацию шагов удобно начать с 0) характеризуется своим началом (tn), продолжительностью (Dtn) и эффектом (Фn), а денежный поток представляется последовательностью (Ф0, Ф1,…).
При этом непрерывное и дискретное представление одного и того же потока эффекта оказываются связанными между собой простыми соотношениями:
Преимуществом дискретного представления потоков является их наглядность, их можно сводить в таблицы, а сами расчеты вести с помощью электронных таблиц. Тем не менее дискретный поток оказывается неудобным в тех случаях, когда необходимы глубокий анализ динамики потоков, получение точных или приближенных аналитических формул для каких-то его характеристик, выявление характера влияния каких-либо факторов на эффективность проекта и т.п. Непрерывные модели оказываются здесь наиболее приемлемыми. Кроме того, при дискретном описании нет возможности выяснить, что происходит внутри шага расчетного периода, когда осуществляются затраты – в начале шага или в конце его, также теряется информация о возможных в середине шаге временных денежных затруднениях и т.п.
